Относительные величины. Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин
Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.
Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.
Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:
В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).
Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!
С самых давних пор людей серьезно интересовал вопрос о том, как удобнее всего сравнить величины, выраженные в разных значениях. И дело здесь не только в природной любознательности. Человек древнейших земных цивилизаций придавал этому довольно непростому делу сугубо прикладное значение. Корректно измерить землю, определить вес продукта на рынке, рассчитать необходимое соотношение товаров при бартере, определить верную норму винограда при заготовке вина - вот лишь малая толика задач, которые часто всплывали в и без того нелёгкой жизни наших предков. Поэтому малообразованные и неграмотные люди при необходимости сравнить величины шли за советом к своим более опытным товарищам, а те нередко брали за такую услугу соответствующую мзду, и довольно неплохую, кстати.
Что можно сравнивать
В наше время этому занятию также отводится немалая роль в процессе изучения точных наук. Всем, конечно, известно, что сравнивать необходимо однородные величины, то есть яблоки - с яблоками, а свеклу - со свеклой. Никому и в голову не придет попробовать выразить градусы Цельсия в километрах или килограммы в децибелах, зато длину удава в попугаях мы знаем с самого детства (для тех, кто не помнит: в одном удаве - 38 попугаев). Хотя попугаи тоже бывают разные, и на самом деле длина удава будет различаться в зависимости от подвида попугая, но это уже детали, в которых мы и попробуем разобраться.
Размерности
Когда в задании указано: "Сравни значения величин", необходимо эти самые величины привести к одному знаменателю, то есть выразить в одних и тех же значениях для удобства сравнения. Понятное дело, что сравнить значение, выраженное в килограммах, со значением, выраженным в центнерах или в тоннах, для многих из нас не составит особого труда. Однако существуют однородные величины, выразить которые можно в разных размерностях и, более того, в разных системах измерения. Попробуйте, например, сравнить величины кинематической вязкости и определить, какая из жидкостей является более вязкой в сантистоксах и квадратных метрах в секунду. Не получается? И не получится. Для этого нужно оба значения отразить в одних и тех же величинах, а уже по числовому значению определить, какое из них превосходит соперника.
Система измерения
Для того чтобы понять, какие величины можно сравнивать, попытаемся вспомнить существующие системы измерения. Для оптимизации и ускорения расчетных процессов в 1875 году семнадцатью странами (в том числе Россией, США, Германией и др.) была подписана метрическая конвенция и определена метрическая система мер. Для разработки и закрепления эталонов метра и килограмма был основан Международный комитет мер и весов, а в Париже обустроено Международное бюро мер и весов. Эта система со временем эволюционировала в Международную систему единиц, СИ. В настоящее время эта система принята большинством стран в области технических расчетов, в том числе и теми странами, где традиционно в повседневной жизни используются национальные (например, США и Англия).
СГС
Однако параллельно с общепринятым стандартом эталонов развивалась и другая, менее удобная система СГС (сантиметр-грамм-секунда). Она была предложена в 1832 году немецким физиком Гауссом, а в 1874 году модернизирована Максвеллом и Томпсоном, в основном в области электродинамики. В 1889 году была предложена более удобная система МКС (метр-килограмм-секунда). Сравнение предметов по величине эталонных значений метра и килограмма для инженеров гораздо более удобно, нежели использование их производных (санти-, милли-, деци- и др.). Однако данная концепция также не нашла массовый отклик в сердцах тех, для кого она предназначалась. Во всём мире активно развивалась и использовалась поэтому расчеты в СГС проводили всё реже, а после 1960 года, с введением системы СИ, СГС и вовсе практически вышла из употребления. В настоящее время СГС реально применяют на практике лишь при расчетах в теоретической механике и астрофизике, и то из-за более простого вида записи законов электромагнетизма.
Пошаговая инструкция
Разберём подробно пример. Допустим, задача звучит так: "Сравните величины 25 т и 19570 кг. Какая из величин больше?" Что нужно сделать перво-наперво, это определить, в каких величинах у нас заданы значения. Итак, первая величина у нас задана в тоннах, а вторая - в килограммах. На втором шаге мы проверяем, не пытаются ли нас ввести в заблуждение составители задачи, пытаясь заставить сравнивать разнородные величины. Бывают и такие задания-ловушки, особенно в быстрых тестах, где на ответ к каждому вопросу дается 20-30 секунд. Как мы видим, значения однородны: и в килограммах, и в тоннах у нас измеряется масса и вес тела, поэтому вторая проверка пройдена с положительным результатом. Третий шаг, переводим килограммы в тонны или, наоборот, тонны - в килограммы для удобства сравнения. В первом варианте получается 25 и 19,57 тонн, а во втором: 25 000 и 19 570 килограмм. И вот теперь можно со спокойной душой сравнить величины этих значений. Как наглядно видно, первое значение (25 т) в обоих случаях больше, чем второе (19 570 кг).
Ловушки
Как уже упоминалось выше, современные тесты содержат очень много заданий-обманок. Это необязательно разобранные нами задачи, ловушкой может оказаться довольно безобидный с виду вопрос, особенно такой, где напрашивается вполне логичный ответ. Однако коварство, как правило, кроется в деталях или в маленьком нюансе, которые составители задания пытаются всячески замаскировать. Например, вместо уже знакомого вам по разобранным задачам с постановкой вопроса: "Сравни величины там, где это возможно" - составители теста могут просто попросить вас сравнить указанные величины, а сами величины выбрать поразительно похожие друг на друга. Например, кг*м/с 2 и м/с 2 . В первом случае это сила, действующая на объект (ньютоны), а во втором - ускорение тела, или м/с 2 и м/с, где вас просят сравнить ускорение со скоростью тела, то есть абсолютно разнородные величины.
Сложные сравнения
Однако очень часто в заданиях приводят два значения, выраженные не только в разных единицах измерения и в разных системах исчисления, но и отличные друг от друга по специфике физического смысла. Например, в постановке задачи сказано: "Сравни значения величин динамической и кинематической вязкостей и определи, какая жидкость более вязкая". При этом значения указаны в единицах СИ, то есть в м 2 /с, а динамической - в СГС, то есть в пуазах. Как поступить в этом случае?
Для решения таких задач можно воспользоваться представленной выше инструкцией с небольшим её дополнением. Определяемся, в какой из систем будем работать: пусть это будет общепринятая среди инженеров. Вторым шагом мы также проверяем, а не ловушка ли это? Но в данном примере тоже всё чисто. Мы сравниваем две жидкости по параметру внутреннего трения (вязкости), поэтому обе величины однородны. Третьим шагом переводим из пуазов в паскаль-секунду, то есть в общепринятые единицы системы СИ. Далее переводим кинематическую вязкость в динамическую, умножая её на соответствующее значение плотности жидкости (табличное значение), и сравниваем полученные результаты.
Вне системы
Существуют также внесистемные единицы измерения, то есть единицы, не вошедшие в СИ, но согласно результатам решений созыва Генеральных конференций по мерам и весам (ГКВМ), допустимые для совместного использования с СИ. Сравнивать такие величины между собой можно только при их приведении к общему виду в стандарте СИ. К внесистемным относятся такие единицы, как минута, час, сутки, литр, электрон-вольт, узел, гектар, бар, ангстрем и многие другие.
Валерий Галасюк
– академик
АЭН Украины, генеральный директор аудиторской фирмы “КАУПЕРВУД” (г. Днепропетровск),
член Президиума Совета Союза аудиторов Украины, член Аудиторской Палаты
Украины, председатель ревизионной комиссии Украинского общества оценщиков,
заместитель председателя Правления Ассоциации налогоплательщиков Украины,
заместитель председателя комиссии по оценке эффективности инвестиционной
деятельности Украинского общества финансовых аналитиков, ведущий оценщик
Украинского общества оценщиков
Виктор Галасюк
– директор департамента кредитного консалтинга информационно-консалтинговой
фирмы “ИНКОН-ЦЕНТР” (консалтинговая группа “КАУПЕРВУД”), магистр экономики
предприятия, лауреат конкурсов молодых оценщиков Украинского общества
оценщиков
Математика – единственный совершенный метод,
позволяющий провести самого себя за нос
Эйнштейн
Мое дело сказать правду, а не заставить верить в нее
Руссо
Данная статья посвящена фундаментальной проблеме, возникающей в процессе численного сравнения величин. Сущность этой проблемы заключается в том, что при определенных условиях различные способы численного сравнения одних и тех же величин фиксируют разную степень их неравенства . Уникальность данной проблемы состоит не столько в том, что она до сих пор не была решена, хотя, казалось бы, процедуры численного сравнения досконально изучены и не вызывают вопросов даже у школьников, сколько в том, что она до сих пор не нашла должного отражения в общественном сознании и, что еще более важно, в практической деятельности.
Как известно, численно сравнивать две величины можно либо отвечая на вопрос «На сколько одна величина больше другой?», либо отвечая на вопрос «Во сколько раз одна величина больше другой?». То есть для того, чтобы численно сравнить две величины необходимо либо вычесть одну из другой (), либо разделить одну на другую (). При этом, как показали исследования, существует всего два исходных типа критериев численного сравнения величин: и , и ни один из них не имеет исключительного права на существование .
Возможны всего 13 качественно различающихся вариантов соотношения на числовой оси значений двух сравниваемых величин X и Y (см. рис.1) .
При сравнении двух величин X и Y на базе критерия сравнения при любом варианте их соотношения на числовой оси не возникает проблем. Ведь независимо от значений величин X и Y, критерий сравнения однозначно характеризует расстояние между точками X и Y на числовой оси.
Вместе с тем использование критерия сравнения для сравнения величин X и Y при некоторых вариантах их соотношения на числовой оси может привести к возникновению проблем , так как в этих случаях значения величин X и Y могут оказать значительное влияние на результаты сравнения. Например, при сравнении величин 0,0100000001 и 0,0000000001, соответствующих варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 0,01, а использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго в 100 000 001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на незначительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на значительную степень их неравенства .
Или, например, при сравнении величин 1 000 000 000 100 и
1 000 000 000 000, соответствующих тому же варианту 5 на «четках Галасюка»,
использование критерия сравнения показывает,
что первое число больше второго на 100, а использование критерия сравнения
показывает,
что первое число приблизительно равно второму, поскольку оно больше второго
числа лишь в 1,0000000001 раз. Таким образом, при определенном соотношении
сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает
на значительную степень неравенства
сравниваемых величин X и Y,
а критерий сравнения указывает
на незначительную степень их неравенства
.
Поскольку проблема, о которой идет речь в данной статье, возникает лишь при использовании критерия сравнения , то для ее изучения рассмотрим сравнение двух величин m и n на базе критерия сравнения . Для сравнения этих величин разделим m на n : .
Анализ результатов сравнения величин m и n осуществим в два этапа: на первом неизменным примем знаменатель отношения – величину n , на втором числитель - величину m (см.рис.2).
Для осуществления первого этапа анализа построим график зависимости отношения от величины m (см.рис.3), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.
Как видно на рисунке 3, если n=const, n¹0, то при |m|→∞ отношение | |→∞, а при |m|→0 отношение | |→0.
Для осуществления второго этапа анализа, построим график зависимости отношения от величины n (см.рис.4), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.
Как видно на рисунке 4, если m=const, m¹0, n¹0, то при |n|→∞ отношение | |→0, а при |n|→0 отношение | |→∞. Следует обратить внимание, что при возрастании значений |n | равные изменения |n | влекут все меньшие изменения отношения | |. А при приближении к нулю значений |n | равные изменения |n | влекут все большие изменения отношения | |.
Обобщив результаты I и II этапов анализа, представим их в виде следующей таблицы, включив в нее также и результаты анализа сравнения на базе исходного типа критериев (см. табл.1). Ситуации, при которых X=0 и Y=0 нами здесь не рассматриваются. Мы надеемся проанализировать их в будущем.
Таблица 1
Обобщенные результаты анализа сравнения величин
X
и
Y
на основе двух исходных типов критериев сравнения
(X ¹ 0 и Y ¹ 0)
|
7. Галасюк В.В. Сколько должно быть исходных типов критериев экономической эффективности затрат: один, два, три…?//Фондовый рынок.-2000.-№3.-С.39-42. 8. Галасюк В.В. О двух исходных типах критериев экономической эффективности затрат//Вопросы оценки,Москва.-2000.-№1.-С.37-40. 9. Пуанкаре Анри. О науке: Пер. с франц.-М.-Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-560 с. 20.10.2002 |
Тема урока: Больше или меньше? На сколько?
Цель урока : Формирование первоначальных представлений о связи арифметических действий с увеличением/ уменьшением чисел в равенствах.
Задачи :
Систематизировать знания детей о составе чисел первого десятка.
Учить моделировать состав чисел с помощью карточек.
Сформировать представление о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.
Совершенствовать умение моделировать условие задачи для ее последующего решения.
Формировать умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.
Способствовать развитию умения наблюдать, видеть закономерности, делать выводы.
Поощрять стремление сотрудничать с товарищами при работе в паре.
Формировать умение сопоставлять информацию, представленную в разных видах: текст, рисунок, схема, числовое выражение.
Совершенствовать навыки самоконтроля.
Формировать умение слушать партнера.
Оборудование: учебник Математика 1 класс, рабочая тетрадь математика 1 класс, набор магнитных демонстрационных цифр от 1 до 10, магнитные демонстрационные знаки «+» и «=», раздаточные «рукавички» с цифрами от 1 до 9 и равенствами, комплект карточек с цифрами от 1 до 9 на каждого ребенка ноутбук, проект, сигнальные карточки красного и синего цвета.
План урока.
Этап актуализации знаний.
Оргмомент 1 мин.
«Оживление» опыта учащихся с целью создания «ситуации успеха» 5 мин.
Актуализация опорных знаний 2мин.
Дифференцированная работа 5 мин.
Создание проблемной ситуации 1 мин.
Этап ознакомления с новым материалом.
Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя 7 мин.
Операционно-исполнительный этап.
Работа в подгруппах 4 мин.
Этап отработки навыка.
Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности 4 мин.
Работа в парах 1 мин.
Этап рефлексии 2 мин.
Конспект урока.
Этап урока
Задачи этапа
Деятельность учителя
Формы организации деятельности учащихся
Дифференцированная работа
Обратная связь
Прогнозируемый результат
1. Этап актуализации знаний
оргмомент
Настроить ребят на активную работу
Вот звонок нам дал сигнал:
Поработать час настал.
Так что время не теряем
И работать начинаем. В путешествие пойдем, В чудный лес мы попадем.
Фронтальная
Привлечение внимания детей к уроку.
«Оживление» опыта учащихся
Систематизировать знания детей, подтолкнуть к активной работе.
В канун нового года не только люди, но и лесные жители готовятся к празднику. А сегодня мы побываем в сказочном лесу. Дед Мороз позаботился, чтобы и у зверей был праздник. Посмотрите, елочки уже с гирляндами, но огоньки на них не горят. Чтобы они зажглись, нужно верно подобрать числа, которые в сумме дают число на каждой елочке. (6,7,8,9,10)
Фронтальная
Работа детей с карточками, ответы учащихся, взаимный анализ вариантов ответов
Создание интереса и положительного настроя.
Закрепят и систематизируют знание состава чисел.
Актуализация опорных знаний.
Оживить и систематизировать навыки детей в выполнении вычислительных операциях с числами в пределах 10.
Елочки готовы, но не хватает игрушек, Дед Мороз и об этом не забыл. Он приготовил им игрушки. 5 красных шариков и 7 синих. А каких шариков больше? Что больше 5 или 7? На сколько 5 больше 7?
Фронтальная
По степени помощи, подведение к правильным ответам.
Взаимный анализ вариантов ответов.
Умение сравнивать числа, выполнять сложение и вычитание на основе знания состава числа.
Дифференцированная работа
Умение моделировать условие задачи для ее последующего решения, умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.
Дети планируют собственную деятельность. Дифференциация содержания учебных заданий организована по уровню трудности. Для 3 и 2 групп – белочки и зайчики используется частично-поисковый метод. Для детей 1 группы с низким уровнем обучаемости используется репродуктивное задание. Характер познавательной деятельности у детей 1-ой группы – репродуктивный, у детей 2-ой и 3 групп – продуктивный
На праздник все ждут подарки. Дед мороз не знает сколько подарков нужно.
Демонстрация условия задачи на экране.
«На новогодний праздник пришли 7 зайчиков, а потом еще 2. Сколько зверей пришли на праздник?»
1 подгруппа: самостоятельное изображение схемы задачи и составление ее равенства.
2 подгруппа: помощь при изображении схемы и самостоятельное составление равенства.
3 подгруппа: совместное с учителем написание схемы и равенства.
Подгрупповая
По степени сложности.
Составление схемы задачи и равенства к ней в тетради, ответы детей, работа у доски.
Поупражняются в способах составления схем и равенств к задаче.
Физкультминутка «Вспомни и покажи».
Если я покажу четное число, то вы должны присесть столько раз, какое число я показала, а если назову нечетное – ваша задача сделать столько хлопков над головой, какое число я назвала.
Создание проблемной ситуации.
Принятие задачи и ее формулировка детьми.
На экране демонстрируется еще одна задача
«На празднике сначала было 7 зайчиков, а потом стало 9. На сколько больше зверят стало на празднике?»
Подойдет ли наша схема к данной задаче?
Чего не хватает в нашей схеме?
Что нам известно в задаче?
Какой поставлен вопрос?
Почему наша схема к данной задаче не подходит?
Фронтальная.
Совместное формулирование проблемы Ответы детей.
Принятие детьми проблемы.
2. Этап ознакомления с новым материалом.
Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя
Совместное разрешение проблемы и вывод.
Развитие мыслительных операций, формирование и развитие логических операций
В процессе обсуждения учащиеся приходят к выводу, что нужна другая схема и изображают ее с опорой на условие задачи.
Ребята, посмотрите, теперь мы видим сколько пришло зайчиков сначала, и сколько потом их стало.
А как нам показать на схеме, насколько зверей стало больше?
Мы вычеркнем количество зверей, которое было из общего количества зверей. Учитель демонстрирует это на схеме, зачеркивая 7 кружков.
Сколько кружков осталось?
Как мы получили число 2?
Мы из большего числа вычли меньшее.
Вывод: чтобы узнать на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Это утверждение сопровождается схематичной жестикуляцией.
Индивидуальная и фронтальная
Ответы детей, работа со схемой и равенством в тетради.
Соотнесение своих знаний с новым материалом
Физкультминутка.
Музыкально-динамическая интерактивная физкультминутка с использованием мультимедийной установки «Веселая зарядка».
3.Операционно-исполнительный этап
Работа в подгруппах
Создание возможности выразить свою точку зрения, умение работать в подгруппе, развитие коммуникативных способностей
Работа с раздаточным материалом «рукавичками».
Ребята, а всем зайчатам, чтобы не замерзнуть нужны рукавички, давайте им поможем подобрать пару.
На рукавичках даны равенства к которым нужно подобрать необходимое число.
Контроль осуществляется через представление командами результатов работы. На оставшихся лишних рукавичках сравниваются числа и выясняется на сколько одно число больше или меньше другого. Ответ каждой подгруппы оценивается другими подгруппами при помощи сигнальной карточки.
Групповая
Ответы детей
Поупражняются в решении равенств на основе знания состава числа и в сравнении чисел.
4. Этап отработки навыка.
Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности
Систематизация представлений о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.
Работа с учебником.
Ребята, посмотрите, нам необходимо поставить знаки < или > .
Первое равенство обсуждается совместно, последующие выполняются учениками самостоятельно.
Групповая, парная, индивидуальная.
По степени помощи.
Ответы детей, работа в тетрадях, работа в парах.
Усовершенствование навыков сравнения чисел.
Работа в парах.
Работа в парах способствует формированию коммуникативных навыков, а также создается ситуация успеха для слабых и средне-слабых учащихся, которые тоже ощущают свою значимость. Ребята получают возможность доказать друг другу правильность решения.
Ребята, а теперь вы с соседом поменяйтесь тетрадями и давайте проверим, верно ли вы выполнили задание.
Парная
По степени помощи
Умение работать в паре
Усовершенствование навыков сравнения чисел и постановки знаков > и < .
5.Этап рефлексии.
Ученики оценивают свою работу по усвоению нового материала и в целом работу на уроке.
Ребята, а теперь отметьте на нашей дорожке как вы научились сравнивать два числа. Кто понял и теперь умеет это делать – поставьте * на верх дорожки, кто еще затрудняется – в середину. Кому сложно и нужно еще поучиться вниз.
И смайликом отметьте, ваше отношение к уроку. Если вы активно работали и вам было интересно, то улыбку.
А если вам было сложно и непонятно, то – грусть.
Фронтальная.
Способность к рефлексии.
Осознают, что схема к задаче зависит от поставленного условия, утверждаются в способе сравнения двух чисел.