Арифметический и алгебраический способ решения. Урок математики "алгебраический и арифметический способы решения задач"

Решение задач алгебраическим способом (с помощью уравнений) По учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича

учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»

г. Лихославль Тверской области

Цели: - показать правило решения задач алгебраическим способом; - формировать умение решать задачи арифметическим и алгебраическим способами.

Способы

решения задач

Арифметический (решение задачи по действиям)

Алгебраический (решение задачи с помощью уравнения)

Задача №509

Прочитайте задачу.

Постарайтесь найти разные способы решения.

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.

1 способ решения

(смотреть)

3 способ решения

(смотреть)

2 способ решения

4 способ решения

1 способ (арифметический)

16 – 4 = 12 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 4 кг печенья.

12: 2 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

6 + 4 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ

В решении использован способ уравнивания .

Вопрос : почему он получил такое название?

Назад )

2 способ (арифметический)

16 + 4 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 4 кг печенья.

20: 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

10 - 4 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ : масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй 6 кг.

В решении использован способ уравнивания .

Назад )

3 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья во второй коробке буквой х кг. Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((х +4)+ х ) кг.

(х +4)+ х =16

х +4+ х =16

2 х +4=16

2 х =16-4

2 х =12

х =12:2

Во второй коробке было 6 кг печенья.

6+4=10 (кг) – печенья было в первой коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Задание : Объясните, в чем отличие арифметического способа от алгебраического?

Назад )

4 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -4) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -4)) кг.

По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Получаем уравнение:

х +(х -4)=16

х + х -4=16

2 х -4=16

2 х =16+4

2 х =20

х =20:2

В первой коробке было 10 кг печенья.

10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Назад )

Какие два способа решения задачи были использованы?
Что собой представляет способ уравнивания?
Чем первый способ уравнивания отличается от второго?
В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Как можно уравнять количество денег в обоих карманах?
В чем заключается алгебраический способ решения задачи?
Чем отличается 3 способ решения задачи от 4-го?
В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Известно, что меньшее количество денег обозначили переменной х . Как будет выражаться через х
Если за х обозначить большее количество денег в кармане, тогда как будет выражаться через х количество денег в другом кармане?
В магазине шампунь стоит на 25 руб дороже, чем в супермаркете. Обозначьте одну переменную буквой у и выразите другую стоимость через эту переменную.

Задача №510

Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами.

С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на 12 ц больше, чем с каждого из двух первых. Сколько картофеля собрали с каждого участка.

Алгебраический способ

(смотреть)

Арифметический способ

(смотреть)

выход )

Арифметический способ

156 - 12 = 144 (ц) – картофеля собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.

144: 3 = 48 (ц) – картофеля собрали с первого и собрали со второго участков.
48 + 12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ

Назад )

Алгебраический способ

Пусть с первого участка собрали х ц картофеля. Тогда со второго участка собрали тоже х ц картофеля, а с третьего участка собрали (х +12) ц картофеля.

По условию со всех трех участков собрали 156 ц картофеля.

Получаем уравнение:

х + х + (х +12) =156

х + х + х + 12 = 156

3 х +12 = 156

3 х = 156 – 12

3 х = 144

х = 144: 3

С первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля.

48 +12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ : с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего участка собрали 60 ц картофеля.

Назад

Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения

Решение текстовых задач младшими шк ольниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.

Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.

Умение решать задачи - основа математической подготовки учителя к обучению младших школьников решению текстовых задач.

Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем , что из курса математики средней школы

практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.

Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.

Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.

Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.

Предварительно сделаем несколько замечаний:

1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.

2. Вид линейного уравнения не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. Решение системы линейных уравнений, на наш взгляд, практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим способом.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Задача сводится к уравнению

вида ах + b = с.

Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?

Алгебраический метод приводит к уравнению: (60 + 70) х + 60 3 = 440 или 130х+18= 440, где х часов - время движения второго поезда до встречи. Тогда: 130 х = 440- 180= 130

х= 260, х =2 (ч).

Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130 (км/ч), время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11-8=3 (ч), расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа (60 3 = 180 (км), расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 - 180 = = 260 (км), время движения второго поезда до встречи (260: 130 -2 (ч)).

В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).

Таблица 1

Пусть х часов - время движения второго поезда до встречи. По условию задачи получаем уравнение:

(60+70)-х+60*3=440 или 130х+180=440

Преобразуем уравнение:

130х=440-180 130х=260.

Найдем известное;

Х=260:130; х=2

Найдем сумму скоростей поездов: 60+70=130(км/ч).

Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)

Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).

Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).

Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.

3) 440 - 180 = 260 (км) - расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

6)11 + 2 = 13 (ч) - в такое время поезда встретятся.

Ответ: в 13 часов.

Пример 2. а 1 х +в 1 =а х+в

Задача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х - стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7 х - 4 х =40-16 -> Зх=24 -> х= 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше книг купили: 7-4=3 (кн.); на сколько меньше денег останется, т.е. на сколько больше денег израсходовали: 40 - 16 = 24 (р); сколько стоит одна книга: 24: 3 = 8 (р). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 2.

Этапы решения задачи

алгебраическим методом

Этапы решения задачи арифметическим методом

Пусть х - стоимость одной книги. По условию задачи

получаем уравнение: 4х+40=7х+16.

Преобразуем уравнение:

7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24

Найдем известное:

Х=24:3; х=8

Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.

Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).

Найдем стоимость одной книги: 24:3=8(р.).

Таблица 2

Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:

1) 7-4=3 (кн.) - на столько книг купили бы больше;

3)24: 3 = 8 (р.) - стоит одна книга.

Ответ: 8 рублей.

Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + b x + сх = d

Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?

Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:

1 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

2) 2 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;

3) 1+2+8=11(ч) - приходится на весь путь

Таблица 3

Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.

По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.

Преобразуем уравнение:

(1+2+8)х=2200 11х=2200.

Найдем известное:

Х=2200:11; х=200

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).

6)200 -8=1 600 (км) - расстояние, которое преодолел турист на поезде.

Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.

Пример 4. Задача сводится к уравнению вида (х + а) в = сх + d .

Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Таблица 4

Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.

Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.

Найдем неизвестное:

Х= 96: 3; х = 32.

В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.

Найдем количество мест в одном вагоне:

96: 3 = 32(м.)

Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:

1)5 18 = 90 (чел.) - на столько человек больше, чем мест было в 18 вагонах;

90 + 6 = 96 (м.) - в трех вагонах;

96: 3 = 32 (м.) - в одном вагоне;

32 + 5 = 37 (чел.) - было в каждом из 18 вагонов;

37 18 = 666 (чел.) - уехало на трамваях;

666 + 174 = 840 (чел.) - было в театре.

Ответ: 840 зрителей.

Пример 5. Задача сводится к системе уравнений вида: х+ у = а, х –у = b .

Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.

Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?

Алгебраический метод приводит к системе уравнений:

х+у=12,

х-у=6 где х: рублей - цена пояса, у рублей - цена пряжки.

Данную систему можно решить методом подстановки: выразив одно неизвестное через другое. Из первого уравнения, подставив его значение во второе уравнение, решить полученное уравнение с одним неизвестным, найти второе неизвестное. Однако в этом случае мы не сможем «нащупать» арифметический путь решения задачи.

Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.
Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).

Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).
Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)

Таблица 5

Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:

Х + у = 12,

Х – у = 6.

Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.

Найдем неизвестно:

х = 18: 2; х = 9

Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.

Уравняем неизвестное:

Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).

Найдем цену пояса:

18: 2 = 9 (р.).

Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:

12+6= 18 (р.) - стоили бы два пояса, если бы пряжка стоила столько же, сколько и пояс;

2) 18:2=9 (р.) - стоит один пояс;

3) 12-9=3 (р.) - стоит одна пряжка.

О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.

Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:

ах + Ьу = с 1 х+у=с2

Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось ?

Таблица 6

Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:

х + у = 10,

4х + 6у = 46.

Умножаем обе части первого уравнения на 4.

Имеем:

4х + 4у = 40.

Вычитаем (почленно) полученное уравнение из второго. Имеем:

(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.

Найдем неизвестное:

У = 6: 2; у = 3.

Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.

Уравняем неизвестные.

Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.

Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).

Найдем количество шестиместных лодок: 6: 2 = 3 (шт.).

Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:

1)4- 10 = 40 (чел.) - разместилось бы, если бы все лодки были четырехместными;

2) 6 - 4 = 2 (чел.) - на столько человек шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;

3)46 - 40 - 6 (чел.) - стольким школьникам не хватит места, если

все лодки четырехместные;

4) 6: 2 = 3 (шт.) - было шестиместных лодок;

5) 10 - 3 = 7 (шт.) - было четырехместных лодок.

Ответ: 3 шестиместные лодки, 7 четырехместных лодок .

Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2

Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?

Таблица 7

Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:

3 х + 4 у = 26,

7 х + 6 у = 44.

Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:

21 х + 28 у = 182,

21 х + 18 у = 132.

Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.

Имеем:

(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.

Найдем неизвестное:

У = 50: 10, у = 5.

3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.

Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:

26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).

Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:

28 – 18 = 10 (шт.).

Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:

182 – 132 = 50 (р.).

Найдем, сколько стоит Блокнот:

50: 10 = 5 (р.).

Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:

1) 26 7 = 182 (р.) - стоят 21ручка и 28 блокнотов;

2) 44 3 = 132 (р.) - стоят 21ручка и 18 блокнотов;

3) 28 - 18 = 10 (шт.) - на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;

4) 182 - 132 = 50 (р.) - стоят 10 блокнотов;

5) 50: 10=5 (р.) - стоит блокнот.

Ответ: 5 рублей.

Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;
2) способ решения задач с «конца»;
3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;
4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;
5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

(замена большего неизвестного меньшим)
1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).
2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).
3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)
1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).
2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).
3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);
б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?
188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)
2) Сколько книг было на второй полке?
168: 4 = 42 (книг)
3) Сколько книг было на первой полке?
42 + 16 = 58 (книг)
4) Сколько книг было на третьей полке?
42 + 8 = 50 (книг)
5) Сколько книг было на четвертой полке?
50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,
4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).
2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).
3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).
4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);
2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,
6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:
12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,
12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.
2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).
3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).
4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).
5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).
6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).
7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия
2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,
2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.
2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).
3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).
4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).
5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии

					Меньше на 6руб.
					Меньше на 5руб60к

					Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется 25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.

Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Задачи на пропорциональное деление.

Задачи на проценты и части.

Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют совершенно разные способы решения.

2 . К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины требуется найти эти значения.

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).

Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4

Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.

1  4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;

4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;

432: 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;

144  4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:

1  4 = 4(ч.);

4 – 1 = 3 (ч.);

432: 3 = 144 (п.);

144 + 432 = 576 (п.).

Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям , относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.

837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел первый поезд;

589: 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;

837: 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;

4) 248: 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.

Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.

4) 27 –19 = 8 (ч.).

Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.

Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a )/ 2.

Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.

Сколько школьников изучает каждый из языков?

Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;

252: 2 = 126 (шк.) – изучают языки;

126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;

126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.

116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;

90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;

160: 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;

116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.

Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.

1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А х 1, х 2 , х 3 , ..., х n прямо пропорционально числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;

2112: 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;

96  6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;

96  4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;

96  5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;

96  7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.

Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.

2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К ним относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„ обратно пропорционально числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .

Алгебраическая модель:

или

x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1

Ответ находится по формулам:

где S = а 2 а 3 ...а„ + a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.

Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?

Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.

Обозначим искомые доходы соответственно через х, х 2 , х 3 , х 4 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).

3. Сколько рублей приходится на одну часть?

1 925 000: 77 = 25 000 (р.).

4. Каков доход фермы в первом месяце?

25 000 30 = 750 000 (р.).

5. Каков доход фермы во втором месяце?

25 000 20 = 500 000 (р.).

6. Каков доход фермы в третьем месяце?

25 000– 12 = 300 000 (р.).

7. Каков доход фермы в четвертом месяце?

25 000– 15 = 375 000 (р.).

Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.

3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел

К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1 , х 2 , х 3 , ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:

х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .

п = 4. Алгебраическая модель:

х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .

Итак, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .

где S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3

Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении , а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?

Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х 1 , х 2 , х 3 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.

Запишем решение по действиям с пояснениями.

1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).

Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5):(3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3):(7-3) = 15: 21.

Из отдельных отношений составляем ряд отношений:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;

4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;

5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;

3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.

Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.

4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел

К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.

Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х 1 х 2 , х 3 прямо пропорциональны числам а 1 , а 2 , а 3 и обратно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебраическая модель:

(см. пункт 1 данного параграфа),

Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

8  3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;

6  6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;

24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;

1800: 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;

30  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

30  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.

5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)

Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 11.

Рис. 11

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).

Запишем решение по действиям с пояснениями.

Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1  2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2  3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125  2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125  5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.

6) Задачи на исключение одного из неизвестных

К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, способом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».

Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?

Решение . Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи.

Решение задач арифметическим способом

Урок по математике в 5 классе.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их» .
Д. Пойа

Цели и задачи урока:

формирование умения решать задачи арифметическим способом;

развитие творческих способностей, познавательного интереса;

развитие логического мышления;

воспитание любви к предмету;

воспитание культуры математического мышления.

Оборудование: сигнальные карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Урок посвящен решению задач арифметическим способом. Сегодня мы будем решать задачи разных видов, но все они будут решены без помощи уравнений.

II. Историческая справка (1 мин.)

Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениям. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречающихся на практике.

III. Разминка (решение задач устно - 6 мин.)
а) Задачи на карточках.
Каждому ученику дается карточка с задачей, которую он решает устно и дает ответ. Все задачи на действие 3 - 1 = 2.

(Ученики решают задачи верно, а кто нет. На всех устно. Поднимают карточки и учитель видит, кто решил задачу карточках должно быть число 2.)

б) Задачи в стихах и логические задачи. (Учитель читает вслух задачу, ученики поднимают карточку с правильным ответом.

Подарил утятам ежик
Кто ответит из ребят,
Восемь кожаных сапожек
Сколько было всех утят?
(Четыре. )

Двое шустрых поросят
Так замерзли, аж дрожат.
Посчитайте и скажите:
Сколько валенок купить им?
(Восемь. )

Я вошел в сосновый бор
И увидел мухомор,
Два опенка,
Два сморчка.
Три масленка,
Два строчка...
У кого ответ готов:
Сколько я нашел грибов?
(Десять. )

4. Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы. Получилось десять. Сколько могло быть кур и сколько собак. (Две собаки и одна курица, одна собака и три курицы .)

5. По рецепту врача купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства? (Полных дней.)

6. Брату 7 лет, а сестре 5. сколько лет будет сестре, когда брату будет 10 лет?

7. Даны числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. что больше: их произведение или сумма?

8. При постройке забора плотники поставили по прямой 5 столбов. Расстояние между столбами по 2 м. Какова длина забора?

IV. Решение задач

(Задачи детям даны на карточках - 15 мин. Дети решают задачи у доски)
Задачи а) и б) нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

б) Первая бригада собрала за смену 52 прибора, втор?"; - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

С помощью задачи в) учащимся можно показать решение задачи «обратным ходом».

в) В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

В задаче г) учащиеся могут предложить несколько способов решения.

г) У трех сестер спросили: «Сколько лет каждой из сестер?». Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Задача д) предназначена для повторения связи отношении «больше в...» и «меньше в...».

д) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась его коллекция?

V. Физкультминутка (2 мин.)

На одной ноге постой-ка,
Будто ты солдатик стойкий.
Ногу левую - подними.
Да смотри - не упади.
А теперь постой на левой,
Если ты солдатик смелый.

VI. Старинные, исторические задачи. Задачи со сказочным содержанием (10 мин.)

Задача е) на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

е) (из «Арифметики» Л.Н. Толстого)

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

Задача на движение.

ж) (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил 26 верст в час. Сколько верст от Москвы до Твери?

(С помощью уравнения легче добраться до ответа. Но учащимся предлагается поискать арифметическое решение задачи.)

1) 26 * 2 = 52 (версты) - на столько верст второй поезд отстал от первого;

2) 39 - 26 = 13 (верст) - на столько верст второй поезд отставал за 1 час от первого;

3) 52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 * 4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Можно заглянуть в справочники найти расстояние в километрах.

1 верста = 1 км 69 м.

Задача на части.

з) Задача Кикиморы. Водяной решил жениться на кикиморе Ха-Ха. На фату кикиморе он посадил несколько пиявок, а себе на накидку в два раза больше. Во время праздника 15 пиявок отвалились, и осталось всего 435. Сколько пиявок было на фате у кикиморы?

(Задача дана для решения с помощью уравнения, но мы решаем арифметическим способом)

VII. Живые цифры (разгрузочная пауза - 4 мин.)

Учитель вызывает к доске 10 учеников, дает им цифры от 1 до 10. Ученики получают разные задания;

а) учитель называет числа; названные делают шаг вперед (н-р: 5, 8, 1, 7);

б) выходят только соседи названного числа (н-р: число 6, выходят 5 и 7);

в) учитель придумывает примеры, и выходит только тот, у кого ответ на этот пример или задачу (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; и т.д.);

г) учитель делает несколько хлопков и еще показывает цифру (одну или две); должен выйти ученик, число которого есть сумма всех услышанных и увиденных чисел (например: 3 хлопка, цифра 5 и цифра 1.);

какое число на 4 больше четырех?

я задумала число, отняла от него 3, у меня получилось 7. Какое число я задумала?

если к задуманному числу прибавить 2, то получится 8. Чему равно задуманное число?

Надо стараться подбирать такие задания, чтобы в ответах не повторялись одни и те же числа, чтобы каждый мог активно участвовать в игре.

VIII. Подведение итогов урока (2 мин.)

- Чем мы сегодня занимались на уроке?

- Что значит решить задачу арифметическим способом?

- Надо помнить, что найденное решение задачи должно удовлетворять условиям задачи.

IХ. Задание на дом. Выставление оценок (2 мин.)

№ 387 (решить задачи арифметическим способом), для слабых учащихся. Для средних и сильных учащихся задание на дом дается на карточках.

1. В булочной было 645 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталась поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слов. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.

Литература

Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А. Математика. 5 класс. - М., «Мнемозина», 2002.

Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. - М.: Педуниверситет «Первое сентября», 2006.

Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью