Числовые характеристики случайных величин, их статистические и вероятностные значения. Центрированные случайные величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, можно вычислить по формуле

M(X) =
.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний)среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется выяснить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M, для любой случайной величины равно нулю.

Поэтому чаще всего идут по другому пути – используют для вычисления дисперсию.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M 2 .

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X 2) – 2 .

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно возводить за знак дисперсии возводя его в квадрат:

D(CX) =C 2 D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X–Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Нормированные случайные величины.

имеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σ

Среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсии

Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величиныVвыражаются через характеристики X так:

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.

Для функции распределения F V (x) и плотности распределения f V (x) имеем:

F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),

где F(x) – функция распределения исходной случайной величиныХ , аf(x) – ее плотность вероятности.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением или центрированной случайной величиной :

Ряд распределения центрированной случайной величины имеет вид:

X  М(Х)	х 1  М(Х)	х 2  М(Х)		х n  М(Х)
	р 1	p 2		р n

Свойства центрированной случайной величины:

1. Математическое ожидание отклонения равно 0:

2. Дисперсия отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания равна дисперсии самой случайной величины Х:

Другими словами, дисперсия случайной величины и дисперсия ее отклонения равны между собой.

4.2. Если отклонение Х  М(Х) разделить на среднее квадратическое отклонение  (Х) , то получим безразмерную центрированную случайную величину, которая называется стандартной (нормированной) случайной величиной :

Свойства стандартной случайной величины:

Математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю: M (Z ) =0.

Дисперсия стандартной случайной величины равна 1: D (Z ) =1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) 1 билет, б) 2 билета. Найдите числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по мишени один раз. Случайная величина Х – число очков, выбиваемых при одном выстреле первым стрелком, – имеет закон распределения:

Z – суммы очков, выбиваемых обоими стрелками. Определить числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Случайная величина Х 1 – число попаданий первого стрелка, Х 2  число попаданий второго стрелка. Найти закон распределения: а) общего числа попаданий; б) случайной величины Z =3Х 1  2Х 2 . Определить числовые характеристики общего числа попаданий. Проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсии: M (3 X  2 Y )=3 M (X )  2 M (Y ), D (3 X  2 Y )=9 D (X )+4 D (Y ).

Случайная величина Х – выручка фирмы – имеет закон распределения:

Найти закон распределения для случайной величины Z – прибыли фирмы. Определить ее числовые характеристики.

Случайные величины Х и У независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение

Одинаковые ли законы распределения имеют случайные величины 2 Х и Х + У ?

Доказать, что математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю, а дисперсия равна 1.

имеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σ

Среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсии

Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.

Для функции распределения F V (x) и плотности распределения f V (x) имеем:

F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),

где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f(x) – ее плотность вероятности.

Коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции – это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 –связь отсутствует или является существенно нелинейной. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи (а именно линейной зависимости), то есть изменения двух величин можно описать линейной функцией.

Процесс называется стохастическим , если он описывается случайными переменными, значение которых меняется во времени.

Коэффициент корреляции Пирсона.

Для метрических величин применяется коэффициент корреляции Пирсона, точная формула которого была выведена Френсисом Гамильтоном. Пусть X и Y – две случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задается формулой:

Неравенства Чебышева.

Неравенство Маркова.

Неравенство Маркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда

,

где a > 0.

Неравенство Чебышёва - Бьенеме.

Если E < ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо

Закон больших чисел.

Закон больших чисел утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Слабый закон больших чисел.

Тогда Sn P M(X).

Усиленный закон больших чисел.

Тогда Sn→M(X) почти наверное.

Центрированной случайной величиной, соответствующей СВ X называется разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием

Случайная величина называется нормированной , если ее дисперсия рана 1. Центрированная и нормированная случайная величина называетсястандартной .

Стандартная случайная величина Z , соответствующая случайной величинеX находится по формуле:

(1.24)

1.2.5. Другие числовые характеристики

Мода дискретной СВ X определяется как такое возможное значениеx m , для которого

Модой непрерывной СВ X называется действительное число M 0 (X ), определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f (x ).

Таким образом, мода СВ X есть ее наиболее вероятное значение, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь несколько значений (мультимодальное распределение).

Медианой непрерывной СВ X называется действительное числоM D (X ), удовлетворяющее условию

Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Начальным моментом m -го порядка СВ X (если он существует) называется действительное число m , определяемое по формуле

(1.27)

Центральным моментом m-го порядка СВ X (если он существует) называется число m , определяемое по формуле

(1.28)

Математическое ожидание СВ X есть ее первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков.

Коэффициентом асимметрии ("скошенности") А(X ) называется величина

Коэффициентом эксцесса ("островершинности") E(X ) СВ X называется величина

1.3. Некоторые законы распределения дискретных случайных величин

1.3.1. Геометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если ее возможным значениям 0, 1, 2, …,m , … соответствуют вероятности, вычисляемые по формуле

где 0 < p < 1,q = 1 –p .

На практике геометрическое распределение встречается, когда производится ряд независимых попыток достигнуть какого-то результата А и вероятность появления событияА в каждой попыткеP (A ) =P . СВX – число бесполезных попыток (до первого опыта, в котором появится событиеА ), имеет геометрическое распределение с рядом распределения:

x i
p i			q 2 p		q m p

и числовыми характеристиками:

(1.30)

1.3.2. Гипергеометрическое распределение

Дискретная СВ X с возможными значениями 0, 1, …,m , …,M имеет гипергеометрическое распределение с параметрамиN ,M ,n , если

(1.31)

где M ≤N ,m ≤n ,n ≤N ,m ,n ,N ,M – натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных следующему: имеется N объектов, из которыхM обладают определенным признаком. Из имеющихсяN объектов наудачу выбираютсяn объектов.

СВ X – число объектов с указанным признаком среди выбираемых, распределена по гипергеометрическому закону.

Гипергеометрическое распределение используется, в частности, при решении задач, связанных с контролем качества продукции.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение, равно:

(1.32)

Выше мы познакомились с законами распределения случайных величин. Каждый закон распределения исчерпывающим образом описывает свойства вероятностей случайной величины и дает возможность вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако во многих вопросах практики нет надобности в таком полном описании и зачастую достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения. Например, среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины, какое-то число, характеризующее величину этого разброса. Эти числа призваны выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения, и называются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик случайных величин прежде всего рассматривают характеристики, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т.е. некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения. Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание , которое иногда просто называют средним значением случайной величины.

Предположим, что дискретная СВ?, принимает значения х { , х 2 ,..., х п с вероятностями р j, р 2 ,... у Ptv т.е. задана рядом распределения

Возможно, что в этих опытах значение х х наблюдалось N { раз, значение х 2 - N 2 раз,..., значение х п - N n раз. При этом + N 2 +... + N n =N.

Среднее арифметическое результатов наблюдений

Если N велико, т.е. N -» оо, то

описывающей центр распределения. Полученное таким образом среднее значение случайной величины назовем математическим ожиданием. Дадим словесную формулировку определения.

Определение 3.8. Математическим ожиданием (МО) дискретной СВ % называется число, равное сумме произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений (обозначение М;):

Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной СВ?, счетно, т.е. имеем РР

Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы п заменяется на оо, т.е.

В этом случае мы получаем уже ряд, который может и расходиться, т.е. соответствующая СВ ^ может и не иметь математического ожидания.

Пример 3.8. СВ?, задана рядом распределения

Найдем МО этой СВ.

Решение. По определению. т.е. Mt, не существует.

Таким образом, в случае счетного числа значений СВ получаем следующее определение.

Определение 3.9. Математическим ожиданием , или средним значением, дискретной СВ, имеющей счетное число значений, называется число, равное сумме ряда произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности, при условии что этот ряд сходится абсолютно, т.е.

Если этот ряд расходится или сходится условно, то говорят, что СВ ^ не имеет математического ожидания.

Перейдем от дискретной СВ к непрерывной с плотностью р(х).

Определение 3.10. Математическим ожиданием , или средним значением, непрерывной СВ называется число, равное

при условии что этот интеграл сходится абсолютно.

Если этот интеграл расходится или сходится условно, то говорят, что непрерывная СВ?, не имеет математического ожидания.

Замечание 3.8. Если все возможные значения случайной величины J;

принадлежат только интервалу (а ; Ь), то

Математическое ожидание - не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей. Иногда применяются такие, например, как мода и медиана.

Определение 3.11. Модой СВ ^ (обозначение Mot,) называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то, для которого вероятность p i или плотность вероятности р(х) достигает наибольшего значения.

Определение 3.12. Медианой СВ?, (обозначение Met} называется такое ее значение, для которого P{t> Met} = Р{? > Met} = 1/2.

Геометрически для непрерывной СВ медиана - это абсцисса той точки оси Ох, для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1/2.

Пример 3.9. СВ t, имеет ряд распределения

Найдем математическое ожидание, моду и медиану СВ

Решение. МЪ, = 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Ме(?) не существует.

Пример 3.10. Непрерывная СВ % имеет плотность

Найдем математическое ожидание, медиану и моду.

Решение.

р(х) достигает максимума, то Очевидно, медиана также равна так как площади по правую и левую стороны от линии, проходящей через точку равны.

Кроме характеристик положения в теории вероятностей употребляют еще ряд числовых характеристик различного назначения. Среди них особое значение имеют моменты - начальные и центральные.

Определение 3.13. Начальным моментом k-го порядка СВ?, называется математическое ожидание k-й степени этой величины: =M(t > k).

Из определений математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных величин следует, что

Замечание 3.9. Очевидно, начальный момент 1-го порядка - это математическое ожидание.

Перед тем как дать определение центрального момента, введем новое понятие центрированной случайной величины.

Определение 3.14. Центрированной СВ называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Нетрудно убедиться, что

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала отсчета в точку М;. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 3.15. Центральным моментом k-го порядка СВ % называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины:

Из определения математического ожидания следует, что

Очевидно, для любой случайной величины ^ центральный момент 1-го порядка равен нулю: с х = М(? 0) = 0.

Особое значение для практики имеет второй центральный момент с 2 . Он называется дисперсией.

Определение 3.16. Дисперсией СВ?, называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины (обозначение D?)

Для вычисления дисперсии можно получить следующие формулы непосредственно из определения:

Преобразуя формулу (3.4), можно получить следующую формулу для вычисления DL;.

Дисперсия СВ есть характеристика рассеивания , разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобно пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины. Будем обозначать его а: а = л/щ.

Для неотрицательной СВ?, в качестве характеристики иногда применяется коэффициент вариации , равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Зная математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. Во многих случаях можно считать, что значения случайной величины % только изредка выходят за пределы интервала М; ± За. Это правило для нормального распределения, которое мы обоснуем в дальнейшем, носит название правило трех сигм.

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Из определения математического ожидания и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.

Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с: М(с) = с.

Действительно, так как величина с принимает только одно значение с вероятностью 1, то М(с) = с 1 = с.

2. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю, т.е. D(c) = 0.

Действительно, Dc = М(с - Мс) 2 = М(с - с) 2 = М( 0) = 0.

3. Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(с^) = с М(?,).

Покажем справедливость этого свойства на примере дискретной СВ.

Пусть СВ задана рядом распределения

Тогда

Следовательно,

Аналогично доказывается свойство и для непрерывной случайной величины.

4. Неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате:

Чем больше моментов случайной величины известны, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем.

В теории вероятностей и ее приложениях используют еще две числовые характеристики случайной величины, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков, - коэффициент асимметрии }