Отношение эквивалентности и фактор-множество. Отношения эквивалентности

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным , если (x, x) Î R для всех x Î X; симметричным – если из (x, y) Î R следует (y, x) Î R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y) Î R и (y, z) Î R влекут (x, z) Î R.

Пример 1

Будем говорить, что x Î X имеет общее с элементом y Î X, если множество
x Ç y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.

Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R Í X ´ X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:

Id X Í R (рефлексивность),

R -1 Í R (симметричность),

R ° R Í R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a Í X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a Î A.

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности . Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.

Определим отношение ~ на множестве w натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда w/~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.

Отношение порядка

Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным , если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:

1) Id X Í R (рефлексивность),

2) R Ç R -1 (антисимметричность),

3) R ° R Í R (транзитивность).

Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством .

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми . Обычно отношение порядка обозначают £. В приведенном примере 0 £ 1 и 2 £ 2, но неверно, что 2 £ 3.

Пример 2

Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.

Частично упорядоченное множество (X, £) называется линейно упорядоченным или цепью , если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.

Подмножество A Í X частично упорядоченного множества (X, £) называется ограниченным сверху , если существует такой элемент x Î X, что a £ x для всех a Î A. Элемент x Î X называется наибольшим в X, если y £ x для всех y Î X. Элемент x Î X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y Î X, для которых x £ y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (w, £) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.

Пример 1

Id X Í R (рефлексивность),

R -1 Í R (симметричность),

R ° R Í R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Отношение порядка

1) Id X Í R (рефлексивность),

2) R Ç R -1 (антисимметричность),

3) R ° R Í R (транзитивность).

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Пример 2

Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.

Пусть (X, £) – частично упорядоченное множество, A Í X – подмножество. Отношение на А, состоящее из пар (a, b) элементов a, b Î A, для которых a £ b, будет отношением порядка на А. Это отношение обозначают тем же символом: £. Таким образом, (A, £) – частично упорядоченное множество. Если оно является линейно упорядоченным, то будем говорить, что А – цепь в (X, £).

Принцип максимальности

Некоторые математические утверждения невозможно доказать без аксиомы выбора. Про эти утверждения говорят, что они зависят от аксиомы выбора или справедливы в теории ZFC , на практике вместо аксиомы выбора для доказательства используют обычно либо аксиому Цермело, либо лемму Куратовского-Цорна, либо любое другое утверждение, равносильное аксиоме выбора.

Лемма Куратовского-Цорна . Если каждая цепь в частично упорядоченном множестве (X, £) ограничена сверху, то в X есть по крайней мере один максимальный элемент.

Эта лемма равносильна аксиоме выбора, и поэтому её можно принять в качестве аксиомы.

Теорема. Для любого частично упорядоченного множества (X, £) существует отношение, содержащее отношение £ и превращающее X в линейно упорядоченное множество.

Доказательство . Множество всех отношений порядка, содержащих отношение £, упорядочено отношением включения Í. Поскольку объединение цепи отношений порядка будет отношением порядка, то по лемме Куратовского-Цорна существует максимальное отношение R, такое, что x £ y влечет x R y. Докажем, что R – отношение, линейно упорядочивающее X. Предположим противное: пусть существуют a, b Î X такие, что ни (a, b), ни (b, a) не принадлежат R. Рассмотрим отношение:

R¢ = R È {(x, y): x R a и b R y}.

Оно получается добавлением пары (a, b) к R и пар (x, y), которые должны быть добавлены к R¢ из условия, что R¢ – отношение порядка. Легко видеть, что R¢ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Получаем R Ì R¢, противоречащее максимальности R, следовательно, R – искомое отношение линейного порядка.

Линейно упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если всякое его непустое подмножество A Í X содержит наименьший элемент a Î A. Лемма Куратовского-Цорна и аксиома выбора эквивалентны также следующему утверждению:

Аксиома Цермело . Для каждого множества существует отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Например, множество w натуральных чисел является вполне упорядоченным. Принцип индуктивности обобщается следующим образом:

Трансфинитная индукция . Если (X, £) – вполне упорядоченное множество и F(x) – свойство его элементов, верное для наименьшего элемента x 0 Î X и такое, что из истинности F(y) для всех y < z следует истинность F(z), то F(x) верно для всех x Î X.

Здесь y < z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Понятие мощности

Пусть f: X à Y и g: Y à Z – отображения множеств. Поскольку f и g – отношения, то определена их композиция g ° f(x) = g(f(x)). Если h: Z à T – отображение множеств, то h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Отношения Id X и Id Y – функции, стало быть, определены композиции Id Y ° f = f ° Id x = f. При X = Y определим f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, …, f n+1 = f n ° f.

Отображение f: X àY называется инъекцей , если для любых элементов x 1 ¹ x 2 множества X справедливо f(x 1) ¹ f(x 2). Отображение f называется сюръекцией , если для каждого y ÎY существует такой x Î X, что f(x) = y. Если f является и сюръекцией, и инъекцией, то f называется биекцией . Легко видеть, что f – биекция тогда и только тогда, когда обратное отношение f -1 Í Y ´ X является функцией.

Будем говорить, что справедливо равенство |X| = |Y|, если существует биекция между X и Y. Положим |X| £ |Y|, если существует инъекция f: X à Y.

Теорема Кантора-Шредера-Бернштейна . Если |X| £ |Y| и |Y| £ |X| , то |X| = |Y|.

Доказательство . По условию, существуют инъекции f: X à Y и g: Y à X. Пусть A = g¢¢Y = Img – образ множества Y относительно отображения g. Тогда

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Рассмотрим отображение j: X à A, заданное как j(x) = gf(x), при

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, и j(x) = x в остальных случаях. Легко видеть, что j – биекция. Искомая биекция между X и Y будет равна g -1 ° j.

Антиномия Кантора

Положим |X| < |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Теорема Кантора . Для любого множества X справедливо |X| < |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Теория множеств. Основные понятия

Теория множеств является основополагающим определением современной математики. Она была создана Георгом Кантором в 1860-х гг. Он писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить. Таким образом, множество – объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью; совокупность некоторых объектов, определенных общим признаком.

Например,

1. Множество жителей г. Воронежа

2. Множество точек плоскости

3. Множество натуральных чисел ℕи др.

Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами(A, B, C и т.д.). Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами(a, b, c и т.д.). Если Х – множество, то запись х∈Х означает, что х есть элемент множества Х или что х принадлежит множеству Х , а запись х∉Х , что элемент х не принадлежит множеству Х . Например, пусть ℕ–множество натуральных чисел. Тогда 5 ℕ , а 0,5∉ℕ .

Если множество Y состоит из элементов множества Х , то говорят, что Y является подмножеством множества Х и обозначают Y⊂Х (или Y⊆Х ). Например, множество целых чисел ℤ является подмножеством рациональных чисел ℚ .

Если для двух множеств Х и Y одновременно имеют место два включения Х Y и Y Х , т.е. Х есть подмножество множества Y и Y есть подмножество множества Х , то множества Х и Y состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и Y называют равными и пишут: Х=Y .

Часто используется термин пустое множество - Ø - множество, не содержащее ни одного элемента. Оно является подмножеством любого множества.

Для описания множеств могут использоваться следующие способы.

Способы задания множеств

1. Перечисление объектов. Используется только для конечных множеств.

Например, Х={x1, x2, x3… x n } . Запись Y={1, 4, 7, 5} означает, что множество состоит из четырех чисел 1, 4, 7, 5 .

2. Указание характеристического свойства элементов множества.

Для этого задается некоторое свойство Р , позволяющее определить принадлежность элемента множеству. Этот способ является более универсальным.

Х={х: Р(х)}

(множество Х состоит их таких элементов х , для которых выполняется свойство Р (х) ).

Пустое множество можно задать, указав его свойства: Ø={х: х≠х}

Построить новые множества можно с помощью уже заданных, используя операции над множествами.

Операции над множествами

1. Объединением(суммой) называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В .

А∪ В={х: х А или х В}.

2. Пересечением(произведением) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству А , так и множеству В .

А∩В={х: х А и х В}.

3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В .

А\В={х: х А и х В}

4. Если А – подмножество множества В . То множество В\А называют дополнением множества А до множества В и обозначают А’ .

5. Симметрической разностью двух множеств называют множество А∆В=(А\В) (В\А)

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Свойства операций над множествами:

1. А В=В А (коммутативность объединения)

2. А В=В А (коммутативность пересечения)

3. А(В С)=(А В) С (ассоциативность объединения)

4. А (В С)=(А В) С (ассоциативность пересечения)

5. А (В С)=(А В) (А С) (1 закон дистрибутивности)

6. А (В С)=(А В) (А С) (2 закон дистрибутивности)

7. А Ø=А

8. А U= U

9. А Ø= Ø

10. А U=А

11. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

12. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

13. А (А В)=А (закон поглощения)

14. А (А В)=А (закон поглощения)

Докажем свойство №11. (А В)’=А’ В’

По определению равных множеств, нам необходимо доказать два включения 1) (А В)’ ⊂А’ В’ ;

2) А’ В’⊂(А В)’ .

Для доказательства первого включения, рассмотрим произвольный элемент х∈(А В)’=Х\(А∪В). Это означает, что х∈Х, х∉ А∪В . Отсюда следует, что х∉А и х∉В , поэтому х∈Х\А и х∈Х\В , а значит х∈А’∩В’ . Таким образом, (А В)’⊂А’ В’

Обратно, если х∈А’ В’ , то х одновременно принадлежит множествам А’, В’ , а значит х∉А и х∉В . Из этого следует, что х∉ А В , поэтому х∈(А В)’ . Следовательно, А’ В’⊂(А В)’ .

Итак, (А В)’=А’ В’

Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой. Для ее записи используют круглые скобки. (х 1 , х 2) – двухэлементное множество, в котором х 1 считается первым элементом, а х 2 – вторым. Пары (х 1 , х 2) и (х 2 , х 1), где х 1 ≠ х 2 , считаются различными.

Множество, состоящее из n элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченным набором из n элементов.

Декартово произведение – произвольное множество X 1 , X 2 ,…,X n упорядоченных наборов из n элементов, где x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n X n

Х 1 Х n

Если множества X 1 , X 2 ,…,X n совпадают(X 1 = X 2 =…=X n) , то их произведение обозначается Х n .

Например, ℝ 2 – множество упорядоченных пар вещественных чисел.

Отношения эквивалентности. Фактор-множества

По данному множеству можно строить новые множества, рассматривая множество некоторых подмножеств. При этом обычно говорят не о множестве подмножеств, а о семействе или классе подмножеств.

В ряде вопросов рассматривают класс таких подмножеств данного множества А , которые не пересекаются и объединение которых совпадает с А . Если данное множество А можно представить в виде объединения своих попарно не пересекающихся подмножеств, то принято говорить, что А разбито на классы. Разбиение на классы осуществляют на основе какого-либо признака.

Пусть Х – не пустое множество, тогда любое подмножество R из произведения Х Х называется бинарным отношением на множестве Х . Если пара (х,у) входит в R, говорят, что элемент х находится в отношении R с у .

Например, отношения х=у, х≥у являются бинарным отношениями на множестве ℝ.

Бинарное отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если:

1. (х,х) R; х Х (свойство рефлексивности)

2. (х,у) R => (у,х) R (свойство симметричности)

3. (х,у) R, (у,z) R, то (x,z) R (свойство транзитивности)

Если пара (х,у) вошла в отношения эквивалентности, то х и у называют эквивалентными(х~у).

1.Пусть ℤ – множество целых чисел, m≥1 – целое число. Зададим отношение эквивалентности R на ℤ так, чтобы n~k , если n-k делится на m . Проверим, выполняются ли свойства на данном отношении.

1. Рефлексивность.

Для любого n∈ℤ ℤ такого, что (p,p)∈R

р-р=0 . Так как 0∈ ℤ , то (p,p)∈ℤ .

2. Симметричность.

Из (n,k) ∈R следует, что существует такое р∈ ℤ , что n-k=mp ;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ , следовательно (k,n) ∈R .

3. Транзитивность.

Из того, что (n,k) ∈R , (k,q) ∈R следует, что существуют такие р 1 и р 2 ∈ ℤ , что n-k=mp 1 и k-q=mp 2 . Сложив данные выражения, получаем, что n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ . Поэтому (n,q) ∈ ℤ .

2.Рассмотрим множество Х всех направленных отрезков пространства или плоскости. =(А, В) . Введем отношение эквивалентности R на Х .

Источник задания: Задание 10_20. ЕГЭ 2018 Обществознание. Решение

Задание 20. Прочитайте приведённый ниже текст, в котором пропущен ряд слов (словосочетаний). Выберите из предлагаемого списка слова (словосочетания), которые необходимо вставить на место пропусков.

«Качество жизни зависит от множества факторов, начиная от места проживания человека и заканчивая общей социально-экономической и (А) ситуацией, а также состоянием политических дел в стране. На качество жизни в той или иной степени могут влиять демографическая ситуация, жилищно-бытовые и производственные условия, объём и качество _____(Б) и т. д. В зависимости от степени удовлетворения потребностей в экономике принято выделять разные уровни жизни населения: достаток - пользование (В), обеспечивающими всестороннее развитие человека; нормальный уровень _____(Г) по научно обоснованным нормам, обеспечивающий человеку восстановление его физических и интеллектуальных сил; бедность - потребление благ на уровне сохранения работоспособности как низшей границы воспроизводства _____(Д); нищета - потребление минимально допустимого по биологическим критериям набора благ и услуг, которые позволяют лишь поддерживать жизнеспособность человека.

Население, адаптируясь к рыночным условиям, использует различные дополнительные источники получения доходов, включая поступления из личных подсобных хозяйств, прибыль от _____(Е)».

Слова (словосочетания) в списке даны в именительном падеже. Каждое слово (словосочетание) может быть использовано только один раз.

Выбирайте последовательно одно слово (словосочетание) за другим, мысленно заполняя каждый пропуск. Обратите внимание на то, что слов (словосочетаний) в списке больше, чем Вам потребуется для заполнения пропусков.

Список терминов:

1) капитал

2) экологическая

3) рациональное потребление

4) потребительские товары

5) средства производства

7) рабочая сила

8) предпринимательская деятельность

9) социальная мобильность

Решение.

Вставим термины в текст.

«Качество жизни зависит от множества факторов, начиная от места проживания человека и заканчивая общей социально-экономической и экологической (2) (А) ситуацией, а также состоянием политических дел в стране. На качество жизни в той или иной степени могут влиять демографическая ситуация, жилищно-бытовые и производственные условия, объём и качество потребительских товаров (4) (Б) и т. д. В зависимости от степени удовлетворения потребностей в экономике принято выделять разные уровни жизни населения: достаток - пользование благами (6) (В), обеспечивающими всестороннее развитие человека; нормальный уровень рационального потребления (3) (Г) по научно обоснованным нормам, обеспечивающий человеку восстановление его физических и интеллектуальных сил; бедность - потребление благ на уровне сохранения работоспособности как низшей границы воспроизводства рабочей силы (7) (Д); нищета - потребление минимально допустимого по биологическим критериям набора благ и услуг, которые позволяют лишь поддерживать жизнеспособность человека.

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью